Найдите значение выражения \( \frac{14^7}{2^5 \cdot 7^6} \).

Решение:

Представим число 14 как произведение \( 2 \cdot 7 \). Используем свойство степеней \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

1. Преобразуем числитель: \( 14^7 = (2 \cdot 7)^7 = 2^7 \cdot 7^7 \).
2. Подставим это в исходное выражение: \( \frac{2^7 \cdot 7^7}{2^5 \cdot 7^6} \).
3. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: \( \frac{2^7}{2^5} \cdot \frac{7^7}{7^6} \).
4. Применим свойство деления степеней: \( 2^{7-5} \cdot 7^{7-6} = 2^2 \cdot 7^1 \).
5. Вычислим значение: \( 2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28 \).

Ответ: 28