Найдите значение выражения \( \frac{a^{14} \cdot (b^6)^2}{(a \cdot b)^{12}} \) при a = 6 и b = \( \sqrt{6} \).

Решение:

Используем свойства степеней: \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \), \( (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \) и \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \).

1. Упростим числитель: \( a^{14} \cdot (b^6)^2 = a^{14} \cdot b^{6 \cdot 2} = a^{14} \cdot b^{12} \).
2. Упростим знаменатель: \( (a \cdot b)^{12} = a^{12} \cdot b^{12} \).
3. Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь: \( \frac{a^{14} \cdot b^{12}}{a^{12} \cdot b^{12}} \).
4. Сократим степени с одинаковыми основаниями: \( a^{14-12} \cdot b^{12-12} = a^2 \cdot b^0 = a^2 \cdot 1 = a^2 \).
5. Подставим значения \( a = 6 \) и \( b = \sqrt{6} \): \( 6^2 = 36 \). Обратите внимание, что значение \( b \) не влияет на результат, так как \( b^0 = 1 \).

Ответ: 36