Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) параболой y = x² + x - 6 и осью Ох;

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой y = x² + x - 6 и осью Ох, нам нужно найти точки пересечения параболы с осью Ох (то есть, где y = 0) и затем вычислить определенный интеграл между этими точками.

1. Находим точки пересечения с осью Ох (y=0):
   \[ x^2 + x - 6 = 0 \]

   Решаем квадратное уравнение:

   \[ x = \frac{-b ± √{b^2-4ac}}{2a} \]

   Здесь a=1, b=1, c=-6.

   \[ x = \frac{-1 ± √{1^2-4(1)(-6)}}}{2(1)} \]

   \[ x = \frac{-1 ± √{1+24}}}{2} \]

   \[ x = \frac{-1 ± √{25}}}{2} \]

   \[ x = \frac{-1 ± 5}}{2} \]

   Два корня:

   x₁ = \frac{-1 + 5}}{2} = \frac{4}}{2} = 2

   x₂ = \frac{-1 - 5}}{2} = \frac{-6}}{2} = -3

   Таким образом, парабола пересекает ось Ох в точках x = -3 и x = 2.

2. Определяем, находится ли парабола ниже или выше оси Ох между точками пересечения.

   Коэффициент при x² (a=1) положительный, значит, парабола направлена ветвями вверх. Между корнями (-3 и 2) парабола находится ниже оси Ох. Следовательно, значение интеграла будет отрицательным, и для получения площади нам нужно будет взять его по модулю или изменить знак.

3. Вычисляем определенный интеграл:
   Площадь S = | ∫_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) dx |
4. Находим первообразную:
   \[ ∫ (x^2 + x - 6) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x \]
5. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
   \[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x ]_{-3}^{2} = (\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 6(2)) - (\frac{(-3)^3}{3} + \frac{(-3)^2}{2} - 6(-3)) \]
6. Вычисляем значения:
   \[ = (\frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 12) - (\frac{-27}{3} + \frac{9}{2} + 18) \]
   \[ = (\frac{8}{3} + 2 - 12) - (-9 + 4.5 + 18) \]
   \[ = (\frac{8}{3} - 10) - (13.5) \]
   \[ = (\frac{8}{3} - \frac{30}{3}) - \frac{27}{2} \]
   \[ = -\frac{22}{3} - \frac{27}{2} \]
7. Приводим к общему знаменателю:
   \[ = -\frac{44}{6} - \frac{81}{6} = -\frac{125}{6} \]
8. Берем по модулю для получения площади:
   \[ S = |-\frac{125}{6} | = \frac{125}{6} \]

Ответ: 125/6