Вычислить: 4) \( ∫_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} sin 2x dx \)

Решение:

1. Находим неопределенный интеграл:
   Для этого используем метод замены переменной или просто знание интеграла от синуса.
   Пусть u = 2x, тогда du = 2dx, следовательно, dx = du/2.
   \[ ∫ sin(2x) dx = ∫ sin(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} ∫ sin(u) du \]
   \[ = \frac{1}{2} (-cos(u)) + C = -\frac{1}{2} cos(2x) + C \]
2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
   \[ ∫_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} sin 2x dx = [ -\frac{1}{2} cos(2x) ]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \]
3. Вычисляем значение в верхнем и нижнем пределах:
   \[ = (-\frac{1}{2} cos(2 · \pi)) - (-\frac{1}{2} cos(2 · \frac{\pi}{2})) \]
   \[ = (-\frac{1}{2} cos(2\pi)) - (-\frac{1}{2} cos(\pi)) \]
4. Подставляем известные значения косинуса:
   \[ cos(2\pi) = 1 \]
   \[ cos(\pi) = -1 \]
   \[ = (-\frac{1}{2} · 1) - (-\frac{1}{2} · (-1)) \]
   \[ = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1 \]

Ответ: -1