Показать, что функция F(x) = e^{2x} + x^3 - cos x является первообразной для функции f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + sin x на всей числовой прямой.

Решение:

Чтобы показать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), необходимо найти производную от F(x) и убедиться, что она равна f(x).

1. Находим производную F'(x):
   F(x) = e^{2x} + x^3 - cos x
   F'(x) = (e^{2x})' + (x^3)' - (cos x)'
2. Вычисляем производные отдельных слагаемых:
   (e^{2x})' = e^{2x} · 2 = 2e^{2x}
   (x^3)' = 3x^2
   (cos x)' = -sin x
3. Подставляем найденные производные обратно:
   F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 - (-sin x)
   F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + sin x
4. Сравниваем F'(x) с f(x):
   Мы получили, что F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + sin x, что в точности совпадает с заданной функцией f(x).

Таким образом, доказано, что F(x) = e^{2x} + x^3 - cos x является первообразной для функции f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + sin x на всей числовой прямой.