3. Найти производную функции при данном значении аргумента! f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{X}, x = \sqrt{5}

Ответ: \frac{1}{10}

Решение:

Найдём производную функции \[f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\]

Применим правило дифференцирования частного:

\[(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

В нашем случае:

• \[u = \sqrt{x^2 - 1}\]
• \[v = x\]

Найдем производные u' и v':

• \[u' = \frac{d}{dx} \sqrt{x^2 - 1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\]
• \[v' = \frac{d}{dx} x = 1\]

Подставим в формулу производной частного:

\[f'(x) = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \cdot x - \sqrt{x^2 - 1} \cdot 1}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}} - \sqrt{x^2 - 1}}{x^2}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[f'(x) = \frac{\frac{x^2 - (x^2 - 1)}{\sqrt{x^2 - 1}}}{x^2} = \frac{1}{x^2\sqrt{x^2 - 1}}\]

Теперь найдем значение производной при x = √5:

\[f'(\sqrt{5}) = \frac{1}{(\sqrt{5})^2\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1}} = \frac{1}{5\sqrt{5 - 1}} = \frac{1}{5\sqrt{4}} = \frac{1}{5 \cdot 2} = \frac{1}{10}\]

Ответ: \frac{1}{10}