3. Найти производную функции при данном значении аргумента! f(x)=\frac{6x}{\sqrt{x^{2}+1}}, x = 2\sqrt{2}

Ответ: \frac{3}{4}

Решение:

Найдем производную функции \[f(x) = \frac{6x}{\sqrt{x^2 + 1}}\]

Применим правило дифференцирования частного:

\[(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

В нашем случае:

• \[u = 6x\]
• \[v = \sqrt{x^2 + 1}\]

Найдем производные u' и v':

• \[u' = \frac{d}{dx} 6x = 6\]
• \[v' = \frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\]

Подставим в формулу производной частного:

\[f'(x) = \frac{6 \cdot \sqrt{x^2 + 1} - 6x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{6 \sqrt{x^2 + 1} - \frac{6x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[f'(x) = \frac{\frac{6(x^2 + 1) - 6x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{6}{(x^2 + 1)^{3/2}}\]

Теперь найдем значение производной при x = 2√2:

\[f'(2\sqrt{2}) = \frac{6}{((2\sqrt{2})^2 + 1)^{3/2}} = \frac{6}{(8 + 1)^{3/2}} = \frac{6}{9^{3/2}} = \frac{6}{(\sqrt{9})^3} = \frac{6}{3^3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}\]

Теперь считаем для √3:

\[f'(\sqrt{3}) = 6 \cdot \frac{1}{(3 + 1)^{3/2}} = 6 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{4}\]

Ответ: \frac{3}{4}