3. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \frac{1}{4}; -\frac{1}{12}; \frac{1}{36}; ...

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 - q}$$, где $$b_1$$ - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

В данной прогрессии:

$$b_1 = \frac{1}{4}$$

Найдём знаменатель q, разделив второй член на первый:

$$q = \frac{-\frac{1}{12}}{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{12} \cdot \frac{4}{1} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$$

Теперь подставим значения в формулу для суммы:

$$S = \frac{\frac{1}{4}}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$$

Ответ: $$\frac{3}{16}$$.