Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 52. Точка Е — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

Решение:

Объем правильной четырехугольной пирамиды \( V_{SABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h \), где \( S_{ABCD} \) — площадь основания, \( h \) — высота.

Объем треугольной пирамиды \( V_{EABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_E \), где \( S_{ABC} \) — площадь основания, \( h_E \) — высота, опущенная из вершины \( E \) на плоскость основания.

Основание \( ABCD \) — квадрат. Площадь треугольника \( ABC \) равна половине площади квадрата \( ABCD \): \( S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Точка \( E \) — середина ребра \( SB \). Высота \( h_E \) пирамиды \( EABC \) (опущенная из \( E \) на основание \( ABC \)) будет в два раза меньше высоты \( h \) пирамиды \( SABCD \) (опущенной из \( S \) на основание \( ABCD \)), так как \( E \) лежит на ребре \( SB \) и находится на половине расстояния от вершины \( S \) до основания.

\( h_E = \frac{1}{2} h \).

Теперь найдем объем пирамиды \( EABC \):

\[ V_{EABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_E = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} S_{ABCD} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} h \right) \]\[ V_{EABC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD} \cdot h \]\[ V_{EABC} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h \right) \]\[ V_{EABC} = \frac{1}{4} V_{SABCD} \]

Подставим значение объема \( V_{SABCD} = 52 \):

\[ V_{EABC} = \frac{1}{4} \cdot 52 = 13 \]

Ответ: 13