Решите уравнение \( \left( \frac{1}{9} \right)^{2+x} = 729 \).

Решение:

Для решения уравнения приведем обе части к одному основанию. Заметим, что \( 9 = 3^2 \) и \( 729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6 \).

Также \( \frac{1}{9} = 9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2} \).

Подставим это в уравнение:

\[ (3^{-2})^{2+x} = 3^6 \]

Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m
\cdot n} \):

\[ 3^{-2(2+x)} = 3^6 \]

Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

\[ -2(2+x) = 6 \]

Раскроем скобки:

\[ -4 - 2x = 6 \]

Перенесем \( -4 \) в правую часть:

\[ -2x = 6 + 4 \]

-2x = 10 \]

Разделим обе части на \( -2 \):

\[ x = \frac{10}{-2} \]

x = -5

Ответ: -5