15. Один из катетов прямоугольного треугольника на 12 см меньше другого, а гипотенуза равна \(4\sqrt{65}\) см. Найдите катеты этого треугольника.

Пусть один катет равен x см, тогда другой катет равен x + 12 см. По теореме Пифагора: \(x^2 + (x + 12)^2 = (4\sqrt{65})^2\), \(x^2 + x^2 + 24x + 144 = 16 \cdot 65\), \(2x^2 + 24x + 144 = 1040\), \(2x^2 + 24x - 896 = 0\), \(x^2 + 12x - 448 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-448) = 144 + 1792 = 1936\). Найдем корни уравнения: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{1936}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 44}{2} = \frac{32}{2} = 16\), \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{1936}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - 44}{2} = \frac{-56}{2} = -28\). Так как длина катета не может быть отрицательной, то x = 16. Тогда второй катет равен: \(x + 12 = 16 + 12 = 28\). Ответ: 16 см и 28 см.