3). Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите второй катет и площадь этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, AC = 12 см, AB = 13 см.

Тогда $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$. Отсюда $$BC^2 = AB^2 - AC^2$$.

$$BC^2 = 13^2 - 12^2 = (13 - 12)(13 + 12) = 1 \cdot 25 = 25$$

$$BC = \sqrt{25} = 5$$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$$ кв. см.

Ответ: 5 см, 30 кв. см