5). В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 600, а высота ВН делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона CD = 8 см, угол A = 60°, BH - высота, AH = HD.

1) Рассмотрим треугольник ABH: угол H = 90°, угол A = 60°, значит, угол ABH = 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, AH = 1/2 * AB.

2) Проведем высоту CK. Тогда BC = HK, AH = HD, значит, BC = HK = HD = AH. Следовательно, AD = 2AH.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник CDK: CD = 8 см, угол D = 90°. Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $$sin D = \frac{CK}{CD} = \frac{AB}{CD}$$.

$$sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{8}$$. Отсюда $$AB = \frac{8 \cdot \sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \sqrt{3}$$ см.

4) $$AH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{3}$$ см.

Следовательно, $$AD = 2 \cdot AH = 4 \cdot \sqrt{3}$$ см.

5) Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot AB = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + 4 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot \sqrt{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 12 \cdot 3 = 36$$ кв. см.

Ответ: 36 кв. см