8. Одна из сторон треугольника равна 45, другая равна 33, а косинус угла между ними равен 5/11. Найдите площадь треугольника.

Найдем синус угла по основному тригонометрическому тождеству:

$$sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$$

$$sin(\alpha) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{5}{11})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{121}} = \sqrt{\frac{96}{121}} = \frac{\sqrt{96}}{11} = \frac{\sqrt{16 \cdot 6}}{11} = \frac{4\sqrt{6}}{11}$$

Теперь найдем площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot 33 \cdot \frac{4\sqrt{6}}{11} = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot 3 \cdot 4\sqrt{6} = 45 \cdot 6\sqrt{6} = 270\sqrt{6}$$

Ответ: $$270\sqrt{6}$$