4. Одна сторона треугольника на 6 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр тре- угольника, если его третья сторона равна 14 см.

4. Дано одна сторона треугольника на 6 см меньше другой: a = b - 6, угол между ними γ = 60°, третья сторона c = 14 см. Требуется найти периметр треугольника P.

По теореме косинусов:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ)$$ $$14^2 = (b - 6)^2 + b^2 - 2(b - 6)b \cdot cos(60°)$$ $$196 = b^2 - 12b + 36 + b^2 - 2(b^2 - 6b) \cdot 0.5$$ $$196 = 2b^2 - 12b + 36 - (b^2 - 6b)$$ $$196 = 2b^2 - 12b + 36 - b^2 + 6b$$ $$196 = b^2 - 6b + 36$$ $$b^2 - 6b - 160 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-160) = 36 + 640 = 676$$ $$b_1 = \frac{6 + \sqrt{676}}{2} = \frac{6 + 26}{2} = 16$$ $$b_2 = \frac{6 - 26}{2} = -10$$

Так как сторона не может быть отрицательной, выбираем b = 16 см.

Тогда a = b - 6 = 16 - 6 = 10 см.

Периметр треугольника:

$$P = a + b + c = 10 + 16 + 14 = 40 \text{ см}$$

Ответ: Периметр треугольника равен 40 см.