552. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, – 13 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный тупоугольный треугольник ABC, где AB = BC, а AC = 24 см - основание. Радиус описанной окружности R = 13 см. Нужно найти боковую сторону AB.

1. Обозначим боковую сторону AB = BC = x.

2. Для тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит вне треугольника.

3. Воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности:

   $$R = \frac{abc}{4S}$$

   где a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь.

4. Выразим площадь треугольника через основание и высоту, проведенную к нему. Пусть BH - высота. Тогда AH = HC = 12 см.

   $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot BH = 12 \cdot BH$$

5. Выразим высоту BH через боковую сторону: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

   $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

   $$x^2 = 12^2 + BH^2$$

   $$BH^2 = x^2 - 144$$

   $$BH = \sqrt{x^2 - 144}$$

6. Подставим все в формулу для радиуса:

   $$13 = \frac{x \cdot x \cdot 24}{4 \cdot 12 \cdot \sqrt{x^2 - 144}}$$

   $$13 = \frac{24x^2}{48\sqrt{x^2 - 144}}$$

   $$13 = \frac{x^2}{2\sqrt{x^2 - 144}}$$

   $$26\sqrt{x^2 - 144} = x^2$$

   $$676(x^2 - 144) = x^4$$

   $$676x^2 - 97344 = x^4$$

   $$x^4 - 676x^2 + 97344 = 0$$

7. Решим биквадратное уравнение: Пусть $$y = x^2$$, тогда уравнение принимает вид:

   $$y^2 - 676y + 97344 = 0$$

   $$D = (-676)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 97344 = 456976 - 389376 = 67600$$

   $$\sqrt{D} = \sqrt{67600} = 260$$

   $$y_1 = \frac{676 + 260}{2} = \frac{936}{2} = 468$$

   $$y_2 = \frac{676 - 260}{2} = \frac{416}{2} = 208$$

8. Найдем x:

   $$x^2 = 468$$

   $$x_1 = \sqrt{468} = 6\sqrt{13} \approx 21.63$$

   $$x^2 = 208$$

   $$x_2 = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \approx 14.42$$

9. Проверим полученные корни:

   1) Если $$x=6\sqrt{13}$$, то высота $$BH = \sqrt{468-144} = \sqrt{324} = 18$$.

   Площадь треугольника равна $$S = 12*18 = 216$$.

   Тогда $$R = \frac{(6\sqrt{13})^2*24}{4*216} = \frac{468*24}{864} = 13$$.

   2) Если $$x = 4\sqrt{13}$$, то высота $$BH = \sqrt{208-144} = \sqrt{64} = 8$$.

   Площадь треугольника равна $$S = 12*8 = 96$$.

   Тогда $$R = \frac{(4\sqrt{13})^2*24}{4*96} = \frac{208*24}{384} = 13$$.

10. Получили два значения боковой стороны: $$6\sqrt{13}$$ и $$4\sqrt{13}$$. Так как треугольник тупоугольный, боковая сторона должна быть меньше половины основания, следовательно подходит корень $$x = 4\sqrt{13}$$

Ответ: $$4\sqrt{13}$$ см.