555. Периметр равнобедренного треугольника равен 90 см, а высота, проведённая к основанию, – 15 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, а периметр P = 90 см. Высота, проведённая к основанию, BH = 15 см. Нужно найти стороны треугольника.

1. Обозначим боковую сторону AB = BC = x, а основание AC = y.

2. Периметр равен сумме всех сторон:

   $$P = AB + BC + AC = x + x + y = 2x + y$$

   $$2x + y = 90$$

   $$y = 90 - 2x$$

3. Так как BH - высота, то AH = HC = y/2 = (90 - 2x)/2 = 45 - x.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

   $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

   $$x^2 = (45 - x)^2 + 15^2$$

   $$x^2 = 2025 - 90x + x^2 + 225$$

   $$0 = 2250 - 90x$$

   $$90x = 2250$$

   $$x = \frac{2250}{90} = 25$$

5. Найдем основание AC: AC = y = 90 - 2x = 90 - 2 \cdot 25 = 90 - 50 = 40 см.

Ответ: боковые стороны равны 25 см, основание равно 40 см.