171 Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О, точки Ми N — се- редины отрез-ков АС и BD. Докажите, что точка О - се- редина отрезка МN.

Пусть O – точка пересечения отрезков AB и CD, являющаяся их общей серединой. M и N – середины отрезков AC и BD соответственно. Нужно доказать, что O – середина отрезка MN.

Рассмотрим треугольник OCD и отметим середину M стороны AC и середину N стороны BD. Тогда OM — медиана треугольника AOC, а ON — медиана треугольника BOD. Так как AO=OB и CO=OD, то OM=ON. Поскольку углы AOD и BOC равны как вертикальные, то углы AOM и BON также равны. Таким образом, треугольники AOM и BON равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно AM=BN и углы OAM и OBN равны.

Аналогично, так как MO и NO медианы, точка O середина MN.

Ответ: Точка О - середина отрезка МN.