395. Отрезок ВК – биссектриса равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС, ∠AKB = 105°. Найдите углы треугольника АВС.

Дано: ΔABC - равнобедренный, AB = AC, BK - биссектриса, ∠AKB = 105°.

Найти: углы треугольника ABC.

Решение:

Так как ∠AKB = 105°, то ∠BKC = 180° - 105° = 75°.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠B = ∠C.

Т.к. ВК – биссектриса, то ∠ABK = ∠CBK = ∠B / 2.

Рассмотрим треугольник ABK: ∠A + ∠ABK + ∠AKB = 180°. ∠A + ∠B / 2 + 105° = 180°. ∠A + ∠B / 2 = 75°.

В треугольнике ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. ∠A + 2∠B = 180°. ∠A = 180° - 2∠B.

Подставим в ∠A + ∠B / 2 = 75°: 180° - 2∠B + ∠B / 2 = 75°. 180° - 75° = 2∠B - ∠B / 2. 105° = (4∠B - ∠B) / 2. 105° = 3∠B / 2. ∠B = 105° * 2 / 3 = 70°.

∠C = ∠B = 70°.

∠A = 180° - 2 * 70° = 180° - 140° = 40°.

Углы треугольника ABC: ∠A = 40°, ∠B = 70°, ∠C = 70°.

Ответ: ∠A = 40°, ∠B = 70°, ∠C = 70°.