12. Периметр прямоугольника равен 56, а площадь равна 171. Найдите большую сторону прямоугольника.

Пусть \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника. Тогда: \(2(a + b) = 56\) (периметр) \(a \cdot b = 171\) (площадь) Из первого уравнения выразим \(a + b = 28\), откуда \(b = 28 - a\). Подставим это во второе уравнение: \(a(28 - a) = 171\). \(28a - a^2 = 171\) \(a^2 - 28a + 171 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(a = \frac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 171}}{2 \cdot 1}\) \(a = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 684}}{2}\) \(a = \frac{28 \pm \sqrt{100}}{2}\) \(a = \frac{28 \pm 10}{2}\) \(a_1 = \frac{28 + 10}{2} = 19\), \(a_2 = \frac{28 - 10}{2} = 9\) Если \(a = 19\), то \(b = 28 - 19 = 9\). Если \(a = 9\), то \(b = 28 - 9 = 19\). Большая сторона прямоугольника равна 19. Ответ: 19.