Периметр прямоугольного треугольника равен 90 см, а его гипотенуза равна 41 см. Найдите площадь этого треугольника. (Вариант 4, задача 2)

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза. Тогда периметр P = a + b + c. Площадь прямоугольного треугольника S = (a * b) / 2. Из условия задачи имеем: \[\begin{cases} a + b + c = 90 \\ c = 41 \end{cases}\] Подставим значение c во первое уравнение: \[a + b + 41 = 90\] \[a + b = 49\] Выразим a через b: \[a = 49 - b\] По теореме Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\] Подставим известные значения: \[(49 - b)^2 + b^2 = 41^2\] Раскроем скобки и упростим: \[2401 - 98b + b^2 + b^2 = 1681\] \[2b^2 - 98b + 720 = 0\] Разделим уравнение на 2: \[b^2 - 49b + 360 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен: \[D = (-49)^2 - 4(1)(360) = 2401 - 1440 = 961\] Тогда корни: \[b_1 = \frac{49 + \sqrt{961}}{2} = \frac{49 + 31}{2} = 40\] \[b_2 = \frac{49 - \sqrt{961}}{2} = \frac{49 - 31}{2} = 9\] Найдем соответствующие значения a: Если \[b = 40], то \[a = 49 - 40 = 9]. Если \[b = 9], то \[a = 49 - 9 = 40]. Таким образом, катеты равны 9 и 40 см. Найдем площадь треугольника: \[S = \frac{9 * 40}{2} = \frac{360}{2} = 180\] Ответ: Площадь треугольника 180 см².