647 Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины М, Ги не漲ark@material100 ветственно на сторонах CD, СЕ и DE. Найдите стороны CD и DE, если CF8 см, EF = 12 см.

Дано: P(CDE) = 55 см, DMFN - ромб, M лежит на CD, F - на CE, N - на DE, CF = 8 см, EF = 12 см. Найти: CD и DE.

1. Так как DMFN - ромб, то DF || CE и DM || NF. Следовательно, треугольники CDE и DFN подобны по двум углам.
2. Поскольку EF = 12 см, CF = 8 см, то CE = CF + EF = 8 + 12 = 20 см.
3. Из подобия треугольников $$\frac{DE}{DN} = \frac{CE}{EF}$$, поскольку DMFN - ромб, то DN = MF и DF = MN
4. Пусть CD = x, DE = y, тогда P(CDE) = CD + DE + CE = x + y + 20 = 55 см, следовательно, x + y = 35 см, y = 35 - x.
5. Из подобия треугольников $$\frac{CD}{MD} = \frac{CE}{EF}$$, MD = NF, CD - MD = x - MD
6. $$\frac{CD}{MD} = \frac{CE}{EF}$$, $$\frac{x}{DF} = \frac{20}{12}$$, $$\frac{DE}{NF} = \frac{20}{8}$$, Из условия, что стороны ромба равны DF=NF, выразим NF из последних двух равенств: NF=8/20 *DE, DF=12/20*CD. Так как DF=NF, то 8/20 *DE=12/20*CD, откуда 2*DE = 3*CD, DE = 3/2 * CD=1.5CD
7. Тогда x + 1.5x = 35, 2.5x=35, x = 14. Следовательно CD=14, DE= 1.5*14=21

Ответ: CD = 14 см, DE = 21 см