Первый рабочий за час делает на 8 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 140 деталей, на 2 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение:

Пусть:

• $$x$$ — производительность второго рабочего (деталей в час).
• $$x + 8$$ — производительность первого рабочего (деталей в час).
• $$t_2$$ — время выполнения заказа вторым рабочим (часов).
• $$t_1$$ — время выполнения заказа первым рабочим (часов).

Условие задачи:

• Общий заказ — 140 деталей.
• $$t_1 = t_2 - 2$$ (первый рабочий выполняет заказ на 2 часа быстрее).

Формулы производительности:

• $$140 = x × t_2$$ (для второго рабочего)
• $$140 = (x + 8) × t_1$$ (для первого рабочего)

Выразим время через производительность:

• $$t_2 = \frac{140}{x}$$
• $$t_1 = \frac{140}{x+8}$$

Подставим $$t_1$$ и $$t_2$$ в уравнение $$t_1 = t_2 - 2$$:

\[ \frac{140}{x+8} = \frac{140}{x} - 2 \]

Решим полученное уравнение:

Умножим обе части уравнения на $$x(x+8)$$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии $$x
e 0$$ и $$x
e -8$$):

\[ 140x = 140(x+8) - 2x(x+8) \]

\[ 140x = 140x + 1120 - 2x^2 - 16x \]

\[ 0 = 1120 - 2x^2 - 16x \]

Перенесем все члены в одну сторону и поделим на -2:

\[ 2x^2 + 16x - 1120 = 0 \]

\[ x^2 + 8x - 560 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(1)(-560) = 64 + 2240 = 2304 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48 \]

Найдем значения $$x$$:

\[ x_1 = \frac{-8 - 48}{2(1)} = \frac{-56}{2} = -28 \]

\[ x_2 = \frac{-8 + 48}{2(1)} = \frac{40}{2} = 20 \]

Так как производительность не может быть отрицательной, $$x = 20$$ деталей в час (производительность второго рабочего).

Найдем производительность первого рабочего:

Производительность первого рабочего = $$x + 8 = 20 + 8 = 28$$ деталей в час.

Проверка:

Время второго рабочего: $$t_2 = 140 / 20 = 7$$ часов.

Время первого рабочего: $$t_1 = 140 / 28 = 5$$ часов.

Разница во времени: $$7 - 5 = 2$$ часа. Условие выполняется.

Ответ: 28