Постройте график функции y = (x+1)(x²-4) х²-х-2 Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих

Решение:

1. Упростим функцию:

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $$(x+1)(x^2-4) = (x+1)(x-2)(x+2)$$

Знаменатель: $$x^2 - x - 2$$. Найдем корни уравнения $$x^2 - x - 2 = 0$$.

Дискриминант $$D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$$.

$$x_1 = \frac{1 - ...{}3)}{2} = -1$$.

$$x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$.

Знаменатель: $$(x+1)(x-2)$$.

Теперь подставим разложенные множители в функцию:

\[ y = \frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-2)} \]

Ограничения (ОДЗ): Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $$x+1
e 0$$ и $$x-2
e 0$$. Значит, $$x
e -1$$ и $$x
e 2$$.

Сокращаем одинаковые множители:

\[ y = x + 2 \]

2. Построение графика:

График функции $$y = x + 2$$ — это прямая. Однако, из-за ограничений $$x
e -1$$ и $$x
e 2$$, на графике будут выколотые точки.

• При $$x = -1$$, $$y = -1 + 2 = 1$$. Точка (-1; 1) выколота.
• При $$x = 2$$, $$y = 2 + 2 = 4$$. Точка (2; 4) выколота.

3. Поиск значений k для прямой $$y=kx$$:

Прямая $$y = kx$$ всегда проходит через начало координат (0; 0). Нам нужно найти такие значения $$k$$, при которых эта прямая не пересекает график функции $$y = x + 2$$ (с учетом выколотых точек).

Для того чтобы прямая $$y = kx$$ не имела общих точек с прямой $$y = x + 2$$, они должны быть параллельны. Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. В данном случае угловой коэффициент прямой $$y = x + 2$$ равен 1. Следовательно, если $$k = 1$$, прямые будут параллельны.

Однако, прямая $$y = kx$$ проходит через начало координат, а прямая $$y = x + 2$$ пересекает ось y в точке (0; 2). Поэтому они никогда не будут совпадать.

Нужно найти значения $$k$$, при которых прямая $$y = kx$$ проходит через выколотые точки графика $$y = x + 2$$.

Для точки (-1; 1):

Подставим координаты точки в уравнение $$y = kx$$:

$$1 = k(-1) ⇒ k = -1$$.

Если $$k = -1$$, прямая $$y = -x$$ пройдет через выколотую точку (-1; 1).

Для точки (2; 4):

Подставим координаты точки в уравнение $$y = kx$$:

$$4 = k(2) ⇒ k = 2$$.

Если $$k = 2$$, прямая $$y = 2x$$ пройдет через выколотую точку (2; 4).

Таким образом, прямая $$y = kx$$ не будет иметь общих точек с графиком функции $$y = x + 2$$ (с учетом выколотых точек), если ее угловой коэффициент $$k$$ равен 1 (прямая параллельна графику, но не совпадает), или если $$k = -1$$ или $$k = 2$$ (прямая проходит через выколотые точки).

Ответ: $$k = 1$$, $$k = -1$$, $$k = 2$$