Решите неравенство 14 ≤0. x²+5x-14

Решение:

Для решения неравенства \[ \frac{14}{x^2 + 5x - 14} \le 0 \]

1. Найдем корни знаменателя:

Приравниваем знаменатель к нулю:

\[ x^2 + 5x - 14 = 0 \]

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81 \]

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Таким образом, знаменатель обращается в ноль при x = -7 и x = 2. Эти значения не входят в область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ: x ≠ -7 и x ≠ 2.

2. Анализ знака дроби:

Так как числитель (14) — положительное число, то знак дроби определяется знаком знаменателя.

Чтобы дробь была меньше или равна нулю (\[ \le 0 \]), знаменатель должен быть отрицательным.

\[ x^2 + 5x - 14 < 0 \]

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх. Значение функции отрицательно между корнями.

Следовательно, -7 < x < 2.

Объединяем с ОДЗ:

Учитывая, что x ≠ -7 и x ≠ 2, получаем интервал (-7; 2).

Ответ: (-7; 2)