Площадь прямоугольного треугольника равна 648√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90° \). Пусть \( \angle A = 30° \), тогда \( \angle B = 60° \).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2}ab \).

Из условия \( S = 648\sqrt{3} \).

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Обозначим катеты как \( a \) (напротив угла 30°) и \( b \) (напротив угла 60°), а гипотенузу как \( c \).

\( a = \frac{1}{2}c \)

Катет \( b \) связан с \( a \) соотношением: \( b = a \tan(60°) = a\sqrt{3} \).

Теперь подставим это в формулу площади:

\[ 648\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a\sqrt{3}) \]\[ 648\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \]

Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):

\[ 648 = \frac{a^2}{2} \]

\[ a^2 = 648 \cdot 2 = 1296 \]

\[ a = \sqrt{1296} = 36 \]

Ответ: 36.