По двум сторонам прямого угла в направлении к его вершине двигаются два тела. Первое тело движется со скоростью 12 м/мин, а второе — 16 м/мин. В некоторый момент времени расстояние между телами составляло 100 м. Через 2 мин после этого расстояние между телами стало равным 60 м. На каком расстоянии от вершины прямого угла находилось каждое тело в первый зафиксированный момент времени?

Пусть в первый момент тела находились на расстояниях x и y метров от вершины. Поскольку направления движения перпендикулярны, x² + y² = 100² = 10000.

За 2 мин первое тело приблизилось к вершине на 12 · 2 = 24 м, а второе — на 16 · 2 = 32 м. Поэтому (x − 24)² + (y − 32)² = 60² = 3600.

Раскроем скобки во втором равенстве и используем x² + y² = 10000: 48x + 64y = 8000, то есть 3x + 4y = 500.

При этом x² + y² = 10000, поэтому по неравенству Коши 3x + 4y ≤ 5√(x² + y²) = 500. Равенство возможно, когда x и y пропорциональны 3 и 4. Значит, x = 60, y = 80.

Ответ: 60 м и 80 м.