623. Покажите, что существует квадратный трёхчлен, имеющий корни, коэффициенты которого – натуральные числа в 2n, 3n (расположенные в произвольном порядке). Разложи

Пусть квадратный трехчлен имеет вид \(ax^2 + bx + c\), где a, b, c - натуральные числа 2n и 3n. Например, \(2nx^2 + 5nx + 3n\).

• Вынесем общий множитель n за скобки:

$$ n(2x^2 + 5x + 3) $$

• Найдем корни квадратного трехчлена \(2x^2 + 5x + 3\) через дискриминант:

$$ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{4} = \frac{-5 + 1}{4} = -1 $$ $$ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{4} = \frac{-5 - 1}{4} = -\frac{3}{2} $$

Действительно, \(2nx^2 + 5nx + 3n\) - квадратный трехчлен с корнями, коэффициенты которого – натуральные числа в 2n и 3n (расположенные в произвольном порядке).

Ответ: Существует, например, \(2nx^2 + 5nx + 3n\)