17. Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) 3x² - 24x + 21; б) 5z² + 10z - 15; в) \(\frac{1}{6}\)x² + \(\frac{1}{3}\)x + \(\frac{1}{3}\); г) х² - 12x + 20; д) -у² + 16у – 15; e) -t² - 8t + 9; ж) 2x² - 5x + 1; з) 5у² + 2y - 3; и) -2n² + 5n + 3

Разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\), где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трехчлена.

a) \(3x^2 - 24x + 21\)

• Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$$ 3(x^2 - 8x + 7) $$

• Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 - 8x + 7\) через дискриминант:

$$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 $$ $$ x_1 = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7 $$ $$ x_2 = \frac{8 - \sqrt{36}}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1 $$

• Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$ 3(x - 7)(x - 1) $$

б) \(5z^2 + 10z - 15\)

• Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$$ 5(z^2 + 2z - 3) $$

• Найдем корни квадратного трехчлена \(z^2 + 2z - 3\) через дискриминант:

$$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $$ $$ z_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 $$ $$ z_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 $$

• Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$ 5(z - 1)(z + 3) $$

в) \(\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\)

• Вынесем общий множитель \(\frac{1}{6}\) за скобки:

$$ \frac{1}{6}(x^2 + 2x + 2) $$

• Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 + 2x + 2\) через дискриминант:

$$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 $$

Т.к. \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не раскладывается на множители.

г) \(x^2 - 12x + 20\)

• Найдем корни квадратного трехчлена через дискриминант:

$$ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64 $$ $$ x_1 = \frac{12 + \sqrt{64}}{2} = \frac{12 + 8}{2} = 10 $$ $$ x_2 = \frac{12 - \sqrt{64}}{2} = \frac{12 - 8}{2} = 2 $$

• Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$ (x - 10)(x - 2) $$

д) \(-y^2 + 16y - 15\)

• Вынесем общий множитель -1 за скобки:

$$ -(y^2 - 16y + 15) $$

• Найдем корни квадратного трехчлена \(y^2 - 16y + 15\) через дискриминант:

$$ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196 $$ $$ y_1 = \frac{16 + \sqrt{196}}{2} = \frac{16 + 14}{2} = 15 $$ $$ y_2 = \frac{16 - \sqrt{196}}{2} = \frac{16 - 14}{2} = 1 $$

• Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$ -(y - 15)(y - 1) $$

e) \(-t^2 - 8t + 9\)

• Вынесем общий множитель -1 за скобки:

$$ -(t^2 + 8t - 9) $$

• Найдем корни квадратного трехчлена \(t^2 + 8t - 9\) через дискриминант:

$$ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 $$ $$ t_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 + 10}{2} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 - 10}{2} = -9 $$

• Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$ -(t - 1)(t + 9) $$

ж) \(2x^2 - 5x + 1\)

• Найдем корни квадратного трехчлена через дискриминант:

$$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17 $$ $$ x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4} $$ $$ x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4} $$

• Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$ 2(x - \frac{5 + \sqrt{17}}{4})(x - \frac{5 - \sqrt{17}}{4}) $$

з) \(5y^2 + 2y - 3\)

• Найдем корни квадратного трехчлена через дискриминант:

$$ D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 $$ $$ y_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{10} = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{3}{5} $$ $$ y_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{10} = \frac{-2 - 8}{10} = -1 $$

• Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$ 5(y - \frac{3}{5})(y + 1) $$

и) \(-2n^2 + 5n + 3\)

• Вынесем общий множитель -1 за скобки:

$$ -(2n^2 - 5n - 3) $$

• Найдем корни квадратного трехчлена \(2n^2 - 5n - 3\) через дискриминант:

$$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 $$ $$ n_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{4} = \frac{5 + 7}{4} = 3 $$ $$ n_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{4} = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2} $$

• Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$ -2(n - 3)(n + \frac{1}{2}) $$

Ответ: a) \(3(x - 7)(x - 1)\); б) \(5(z - 1)(z + 3)\); в) не раскладывается; г) \((x - 10)(x - 2)\); д) \(-(y - 15)(y - 1)\); e) \(-(t - 1)(t + 9)\); ж) \(2(x - \frac{5 + \sqrt{17}}{4})(x - \frac{5 - \sqrt{17}}{4})\); з) \(5(y - \frac{3}{5})(y + 1)\); и) \(-2(n - 3)(n + \frac{1}{2})\)