Для определения, на какой вопрос отвечает обстоятельство с предлогом «по», нужно задать вопрос к данному обстоятельству.
Пошли в лес (за чем?) по грибы.
Обстоятельство «по грибы» отвечает на вопрос «за чем?». Этот вопрос относится к обстоятельству цели.
Ответ: Обстоятельство цели.