Для определения, на какой вопрос отвечает обстоятельство с предлогом «по», нужно задать вопрос к данному обстоятельству.
Забыл (из-за чего?) по старости лет.
Обстоятельство «по старости лет» отвечает на вопрос «из-за чего?». Этот вопрос относится к обстоятельству причины.
Ответ: Обстоятельство причины.