5. Постройте график функции у = 4|x + 6| - х² - 11х – 30 и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графи-ком ровно три общие точки.

Построим график функции $$y = 4|x + 6| - x^2 - 11x - 30$$.

Рассмотрим два случая:

1) Если $$x \ge -6$$, то $$|x + 6| = x + 6$$ и $$y = 4(x + 6) - x^2 - 11x - 30 = 4x + 24 - x^2 - 11x - 30 = -x^2 - 7x - 6$$.

2) Если $$x < -6$$, то $$|x + 6| = -(x + 6)$$ и $$y = -4(x + 6) - x^2 - 11x - 30 = -4x - 24 - x^2 - 11x - 30 = -x^2 - 15x - 54$$.

Получаем функцию:

$$y = \begin{cases} -x^2 - 7x - 6, & x \ge -6 \\ -x^2 - 15x - 54, & x < -6 \end{cases}$$

Найдем вершину первой параболы: $$x_v = \frac{-(-7)}{2(-1)} = -\frac{7}{2} = -3.5$$.

$$y_v = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) - 6 = -12.25 + 24.5 - 6 = 6.25$$

Найдем вершину второй параболы: $$x_v = \frac{-(-15)}{2(-1)} = -\frac{15}{2} = -7.5$$.

$$y_v = -(-7.5)^2 - 15(-7.5) - 54 = -56.25 + 112.5 - 54 = 2.25$$

График функции:

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки, если она проходит через вершину одной из парабол, либо через точку излома графика.

Точка излома: $$y(-6) = -(-6)^2 - 7(-6) - 6 = -36 + 42 - 6 = 0$$.

Следовательно, $$m = 0, m = 2.25, m = 6.25$$.

Ответ: $$m = 0$$, $$m = 2.25$$, $$m = 6.25$$