Постройте график функции у =x²+2x-x²-9-8 и определите, при каких 22 значениях т прямая ут имеет с графиком ровно три общие точки.

Постройте график функции $$y = x^2 + 2x - |x^2 - 9| - 8$$ и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию без модуля.

1) Если $$x^2 - 9 \geq 0$$, то $$|x^2 - 9| = x^2 - 9$$, и функция примет вид:

$$y = x^2 + 2x - (x^2 - 9) - 8 = x^2 + 2x - x^2 + 9 - 8 = 2x + 1$$

$$x^2 - 9 \geq 0$$ при $$x \leq -3$$ или $$x \geq 3$$

2) Если $$x^2 - 9 < 0$$, то $$|x^2 - 9| = -(x^2 - 9)$$, и функция примет вид:

$$y = x^2 + 2x - (-(x^2 - 9)) - 8 = x^2 + 2x + x^2 - 9 - 8 = 2x^2 + 2x - 17$$

$$x^2 - 9 < 0$$ при $$-3 < x < 3$$

Таким образом, функция имеет вид:

$$y = \begin{cases} 2x + 1, & x \leq -3 \text{ или } x \geq 3 \\ 2x^2 + 2x - 17, & -3 < x < 3 \end{cases}$$

Построим график функции.

1) Прямая $$y = 2x + 1$$ при $$x \leq -3$$ или $$x \geq 3$$

При $$x = -3, y = 2(-3) + 1 = -6 + 1 = -5$$

При $$x = 3, y = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7$$

2) Парабола $$y = 2x^2 + 2x - 17$$ при $$-3 < x < 3$$

Найдем вершину параболы: $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$$

$$y_0 = 2(-\frac{1}{2})^2 + 2(-\frac{1}{2}) - 17 = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 - 17 = \frac{1}{2} - 18 = -17.5$$

При $$x = -3, y = 2(-3)^2 + 2(-3) - 17 = 18 - 6 - 17 = -5$$

При $$x = 3, y = 2(3)^2 + 2(3) - 17 = 18 + 6 - 17 = 7$$

Найдем значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки, когда она проходит через вершину параболы или через точки (-3, -5) и (3, 7).

Таким образом, m = -17.5 или m = -5 или m = 7.

Ответ: -17.5; -5; 7