Постройте график функции y = (5x-8)/(5x²-8x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Упростим функцию:

\( y = \frac{5x-8}{5x^2-8x} = \frac{5x-8}{x(5x-8)} \)

При \( x \neq 0 \) и \( 5x-8 \neq 0 \) (т.е. \( x \neq 8/5 \)), \( y = \frac{1}{x} \).

График функции — гипербола \( y = \frac{1}{x} \) с выколотыми точками при \( x=0 \) и \( x=8/5 \).

При \( x=0 \), функция не определена. Выколотая точка при \( x=0 \) — это асимптота.

При \( x=8/5 \), \( y = \frac{1}{8/5} = \frac{5}{8} \). Выколотая точка: \( (8/5, 5/8) \).

Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0, 0) \).

Чтобы прямая \( y = kx \) имела с графиком ровно одну общую точку, нужно, чтобы:

1. Прямая проходила через начало координат и не пересекала гиперболу.
2. Прямая была касательной к гиперболе.

Уравнение пересечения:

\( kx = \frac{1}{x} \)

\( kx^2 = 1 \)

\( kx^2 - 1 = 0 \)

Если \( k > 0 \), то \( x^2 = 1/k \), \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}} \). Два пересечения.

Если \( k = 0 \), то \( -1 = 0 \), нет решений. Прямая \( y=0 \) — асимптота, не пересекает гиперболу.

Если \( k < 0 \), то \( kx^2 = 1 \) не имеет действительных решений, так как \( kx^2 \) отрицательно или равно нулю, а \( 1 \) положительно.

Значит, прямое касание невозможно.

Нужно рассмотреть случай, когда прямая проходит через выколотую точку \( (8/5, 5/8) \).

\( \frac{5}{8} = k \cdot \frac{8}{5} \)

\( k = \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{64} \)

При \( k = 25/64 \), уравнение \( \frac{25}{64} x^2 - 1 = 0 \). \( x^2 = \frac{64}{25} \), \( x = \pm \frac{8}{5} \).

Одно из решений \( x = 8/5 \) соответствует выколотой точке. Другое решение \( x = -8/5 \) дает пересечение. Таким образом, при \( k = 25/64 \) есть ровно одно пересечение с графиком (помимо выколотой точки).

Ответ: k = 25/64.