Постройте график функции y = {x²+6x+9 при x≥-5, 20/x при x<-5}. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение:

График состоит из двух частей:

1. \( y = x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 \) при \( x \ge -5 \). Это часть параболы с вершиной в точке \( (-3, 0) \).
2. \( y = 20/x \) при \( x < -5 \). Это часть гиперболы.

Вычислим значения в граничной точке \( x=-5 \):

Для первой части: \( y = (-5+3)^2 = (-2)^2 = 4 \). Точка \( (-5, 4) \) — начало луча параболы (включительно).

Для второй части: \( y = 20/(-5) = -4 \). Точка \( (-5, -4) \) — конец луча гиперболы (не включая).

Построим график:

Первая часть — ветвь параболы, начинающаяся в точке \( (-5, 4) \) и идущая вниз до вершины \( (-3, 0) \), а затем вверх.

Вторая часть — часть гиперболы в третьей четверти, заканчивающаяся в точке \( (-5, -4) \) (выколотой).

Теперь определим, при каких \( m \) прямая \( y = m \) имеет одну или две общие точки с графиком.

Рассмотрим значения \( y \) на разных участках:

• Для \( y = (x+3)^2 \) при \( x \ge -5 \), \( y \) принимает значения от \( 0 \) до \( \infty \). При \( x=-5 \), \( y=4 \). При \( x=-3 \), \( y=0 \).
• Для \( y = 20/x \) при \( x < -5 \), \( y \) принимает значения от \( -4 \) (не включая) до \( 0 \) (не включая, асимптота).

Анализируем пересечения с \( y=m \):

• Если \( m > 4 \), прямая пересечет параболу один раз.
• Если \( m = 4 \), прямая пересечет параболу в точке \( (-5, 4) \) и еще один раз на ветви параболы. Две точки.
• Если \( 0 < m < 4 \), прямая пересечет параболу дважды.
• Если \( m = 0 \), прямая пересечет параболу в вершине \( (-3, 0) \) один раз.
• Если \( -4 < m < 0 \), прямая пересечет параболу один раз (на ветви, где \( x < -3 \)) и гиперболу один раз. Две точки.
• Если \( m = -4 \), прямая пересечет параболу один раз и пройдет через выколотую точку гиперболы. Одна точка.
• Если \( m < -4 \), прямая пересечет параболу один раз.

Нам нужно найти \( m \), при которых одна или две общие точки.

Одна точка: \( m > 4 \) (парабола), \( m = 0 \) (вершина параболы), \( m = -4 \) (через выколотую точку).

Две точки: \( m = 4 \), \( 0 < m < 4 \) (парабола), \( -4 < m < 0 \) (парабола и гипербола).

Объединяя все случаи для одной или двух точек:

\( m > 4 \) (1 точка)

\( m = 4 \) (2 точки)

\( 0 < m < 4 \) (2 точки)

\( m = 0 \) (1 точка)

\( -4 < m < 0 \) (2 точки)

\( m = -4 \) (1 точка)

\( m < -4 \) (1 точка)

Таким образом, одна или две точки будут при всех \( m \) кроме тех, что не имеют пересечений. У параболы нет пересечений при \( y < 0 \) (кроме \( m \) из интервала \( (-4, 0) \)). У гиперболы нет пересечений при \( y \ge 0 \) (кроме \( y \to 0 \) при \( x \to -\infty \)).

Прямая \( y=m \) имеет пересечения со всей функцией при:

\( m > 4 \) (1 точка)

\( m = 4 \) (2 точки)

\( 0 < m < 4 \) (2 точки)

\( m = 0 \) (1 точка)

\( -4 < m < 0 \) (2 точки)

\( m = -4 \) (1 точка)

\( m < -4 \) (1 точка)

Объединяя все эти интервалы, получаем, что \( y=m \) имеет одну или две точки пересечения для всех \( m \) кроме тех, где нет пересечений. Нет пересечений, когда \( m \) находится между \( 0 \) (асимптота гиперболы) и \( -4 \) (выколотая точка гиперболы), то есть \( m ∈ (-4, 0) \) для гиперболы. И нет пересечений для параболы, когда \( y < 0 \) но выше вершины. Верхняя граница параболы - \( \infty \). Нижняя - \( 0 \). Но пересечение с \( x=-5 \) дает \( y=4 \).

Переосмыслим:

• Если \( m > 4 \), одна точка (парабола).
• Если \( m = 4 \), две точки (парабола: \( x=-5 \) и \( x=-7 \)).
• Если \( 0 < m < 4 \), две точки (парабола).
• Если \( m = 0 \), одна точка (вершина параболы \( x=-3 \)).
• Если \( -4 < m < 0 \), две точки (парабола и гипербола).
• Если \( m = -4 \), одна точка (через выколотую точку гиперболы \( x=-5 \), которая исключена, но даст одно пересечение с параболой).
• Если \( m < -4 \), одна точка (парабола).

Таким образом, одна или две точки пересечения будут при всех \( m \).

Ответ: m ∈ ℝ.