Постройте график функции y = (x²+4)(x-1) / (1-x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Упростим функцию:

\( y = \frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x} = \frac{(x^2+4)(x-1)}{-(x-1)} \)

При \( x \neq 1 \), \( y = -(x^2+4) = -x^2 - 4 \).

График функции — парабола \( y = -x^2 - 4 \) с выколотой точкой при \( x=1 \). При \( x=1 \), \( y = -(1^2+4) = -5 \). Выколотая точка: \( (1, -5) \).

Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0, 0) \).

Чтобы прямая \( y = kx \) имела с графиком ровно одну общую точку, нужно, чтобы:

1. Прямая проходила через начало координат и не пересекала параболу (кроме начала координат).
2. Прямая была касательной к параболе, и точка касания не была выколотой.

Уравнение пересечения:

\( kx = -x^2 - 4 \)

\( x^2 + kx + 4 = 0 \)

Для того, чтобы было ровно одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:

\( D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16 \)

\( k^2 - 16 = 0 \)

\( k^2 = 16 \)

\( k = \pm 4 \)

При \( k = 4 \), \( x^2 + 4x + 4 = 0 \), \( (x+2)^2 = 0 \), \( x = -2 \). Значение \( y = 4 \cdot (-2) = -8 \). Точка \( (-2, -8) \) не является выколотой.

Также нужно учесть случай, когда прямая проходит через выколотую точку \( (1, -5) \).

\( -5 = k \cdot 1 \), \( k = -5 \).

При \( k = -5 \), уравнение \( x^2 - 5x + 4 = 0 \). Корни: \( x = 1 \) и \( x = 4 \). Точка \( (1, -5) \) является выколотой, поэтому одно пересечение будет в \( (1, -5) \). Второе пересечение: \( x=4 \), \( y = -5 \cdot 4 = -20 \). Точка \( (4, -20) \).

Таким образом, прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком, когда она является касательной к параболе ( \( k = \pm 4 \)) или когда она проходит через начало координат и выколотую точку \( (1, -5) \) (\( k = -5 \)).

Ответ: k = 4, k = -4, k = -5.