Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Рассмотрим функцию \( y = x^2 - 5x - 5|x-2| + 6 \) в двух случаях:
- При \( x \ge 2 \): \( y = x^2 - 5x - 5(x-2) + 6 = x^2 - 5x - 5x + 10 + 6 = x^2 - 10x + 16 \). Это парабола. Вершина при \( x = -(-10)/(2 · 1) = 5 \). Значение в вершине: \( y = 5^2 - 10 · 5 + 16 = 25 - 50 + 16 = -9 \). Точка \( (5, -9) \).
- При \( x < 2 \): \( y = x^2 - 5x - 5(-(x-2)) + 6 = x^2 - 5x + 5(x-2) + 6 = x^2 - 5x + 5x - 10 + 6 = x^2 - 4 \). Это парабола. Вершина при \( x = 0 \). Значение в вершине: \( y = 0^2 - 4 = -4 \). Точка \( (0, -4) \).
Теперь построим график:
- При \( x \ge 2 \), ветвь параболы \( y = x^2 - 10x + 16 \). При \( x=2 \), \( y = 2^2 - 10 · 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0 \). Точка \( (2, 0) \). Вершина \( (5, -9) \).
- При \( x < 2 \), ветвь параболы \( y = x^2 - 4 \). При \( x=2 \), \( y = 2^2 - 4 = 0 \). Точка \( (2, 0) \). Вершина \( (0, -4) \).
График состоит из двух ветвей парабол, соединенных в точке \( (2, 0) \).
Определим, при каких \( m \) прямая \( y = m \) имеет три общие точки:
- Если \( m > 0 \), прямая пересекает обе ветви по одному разу. Две точки.
- Если \( m = 0 \), прямая проходит через точку \( (2, 0) \) и пересекает левую ветвь еще один раз ( \( x^2-4=0 \) \( x=± 2 \), значит \( x=-2 \) ). Две точки.
- Если \( -4 < m < 0 \), прямая пересекает обе ветви по одному разу. Две точки.
- Если \( m = -4 \), прямая проходит через вершину левой ветви \( (0, -4) \) и пересекает правую ветвь ( \( x^2-10x+16=-4 \) \( x^2-10x+20=0 \) \( D = 100 - 80 = 20 \) \( x = (10 ± \sqrt{20})/2 = 5 ± \sqrt{5} \). Обе точки \( x > 2 \) ). Три точки.
- Если \( -9 < m < -4 \), прямая пересекает обе ветви по одному разу. Две точки.
- Если \( m = -9 \), прямая проходит через вершину правой ветви \( (5, -9) \) и пересекает левую ветвь ( \( x^2-4=-9 \) \( x^2=-5 \) — нет решений). Одна точка.
- Если \( m < -9 \), прямая пересекает правую ветвь один раз. Одна точка.
Прямая \( y = m \) имеет ровно три общие точки, когда \( m = -4 \).
Ответ: m = -4.
