Постройте график функции y = {x²+8x-17 при x≥2, -x-2 при x<2}. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком две общие точки.

Решение:

График состоит из двух частей:

1. \( y = x^2 + 8x - 17 \) при \( x \ge 2 \). Это часть параболы. Вершина параболы находится при \( x = -8/(2 · 1) = -4 \). Так как \( -4 < 2 \), то на интервале \( [2, ³) \) функция возрастает.
2. \( y = -x - 2 \) при \( x < 2 \). Это луч, исходящий из точки \( (2, -4) \) (не включая ее) и идущий влево вниз.

Вычислим значения в граничной точке \( x=2 \):

Для первой части: \( y = 2^2 + 8 · 2 - 17 = 4 + 16 - 17 = 3 \). Точка \( (2, 3) \) — начало луча (включительно).

Для второй части: \( y = -2 - 2 = -4 \). Точка \( (2, -4) \) — конец луча (не включая).

Построим график:

Первая часть — ветвь параболы, начинающаяся в точке \( (2, 3) \) и идущая вверх.

Вторая часть — луч, начинающийся в точке \( (2, -4) \) (выколотой) и идущий вниз влево.

Теперь определим, при каких \( m \) прямая \( y = m \) имеет две общие точки с графиком.

Рассмотрим значения \( y \) на разных участках:

• Для \( y = x^2 + 8x - 17 \) при \( x \ge 2 \), \( y \) принимает значения от \( 3 \) до \( \infty \) (включая \( 3 \)).
• Для \( y = -x - 2 \) при \( x < 2 \), \( y \) принимает значения от \( -\infty \) до \( -4 \) (не включая \( -4 \)).

Прямая \( y=m \) пересечет график в двух точках, если:

1. \( m \) находится между значением конца первой части ( \( y=-4 \), не включительно) и значением начала второй части ( \( y=3 \), включительно).

Это значит, что \( m \) должно быть в интервале \( (-4, 3] \).

Ответ: m ∈ (-4; 3].