Постройте график функции y = {x-2.5 при x < 2, x+1.5 при 2≤x≤3, x-5 при x>3}. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком две общие точки.

Решение:

График состоит из трех частей:

1. \( y = x - 2.5 \) при \( x < 2 \). Это луч, исходящий из точки \( (2, -0.5) \) (не включая ее) и идущий влево вниз.
2. \( y = x + 1.5 \) при \( 2 \le x \le 3 \). Это отрезок, соединяющий точки \( (2, 3.5) \) и \( (3, 4.5) \) (включая обе точки).
3. \( y = x - 5 \) при \( x > 3 \). Это луч, исходящий из точки \( (3, -2) \) (не включая ее) и идущий вправо вверх.

Построим график, отмечая граничные точки:

При \( x=2 \): \( y = 2 - 2.5 = -0.5 \) (точка \( (2, -0.5) \) — выколотая).

При \( x=2 \): \( y = 2 + 1.5 = 3.5 \) (точка \( (2, 3.5) \) — закрашенная).

При \( x=3 \): \( y = 3 + 1.5 = 4.5 \) (точка \( (3, 4.5) \) — закрашенная).

При \( x=3 \): \( y = 3 - 5 = -2 \) (точка \( (3, -2) \) — выколотая).

Теперь определим, при каких \( m \) прямая \( y = m \) имеет две общие точки с графиком.

Рассмотрим значения \( y \) на разных участках:

• Для \( y = x - 2.5 \) при \( x < 2 \), \( y \) принимает значения от \( -\infty \) до \( -0.5 \) (не включая \( -0.5 \)).
• Для \( y = x + 1.5 \) при \( 2 \le x \le 3 \), \( y \) принимает значения от \( 3.5 \) до \( 4.5 \) (включая \( 3.5 \) и \( 4.5 \)).
• Для \( y = x - 5 \) при \( x > 3 \), \( y \) принимает значения от \( -2 \) (не включая \( -2 \)) до \( \infty \).

Прямая \( y=m \) пересечет график в двух точках, если:

1. \( m \) находится между значением первой части графика перед разрывом и значением третьей части графика после разрыва, при этом \( m \) находится в интервале \( (-2, -0.5) \).
2. \( m \) равно значению \( y \) в начале второй части ( \( y=3.5 \) ) и при этом пересекает первую или третью часть.
3. \( m \) равно значению \( y \) в конце второй части ( \( y=4.5 \) ) и при этом пересекает первую или третью часть.
4. \( m \) находится в интервале, где пересекаются первая и третья части графика.

Анализируя пересечения:

• Если \( m < -0.5 \) и \( m > -2 \), то \( y=m \) пересекает первый луч ( \( y = x-2.5 \) ) и третий луч ( \( y = x-5 \) ) ровно по одному разу. Всего две точки.
• Если \( m = -0.5 \), то \( y=m \) пересекает третий луч, но не первую часть (т.к. \( -0.5 \) не включено). Одна точка.
• Если \( m = -2 \), то \( y=m \) пересекает первый луч ( \( y = x-2.5 \) ) и третью часть ( \( y = x-5 \) ), но \( -2 \) не включено для третьей части. Одна точка.
• Если \( m = 3.5 \), то \( y=m \) пересекает вторую часть ( \( y=x+1.5 \) ) и третий луч ( \( y=x-5 \) ). Две точки.
• Если \( m = 4.5 \), то \( y=m \) пересекает вторую часть ( \( y=x+1.5 \) ) и третий луч ( \( y=x-5 \) ). Две точки.

Ответ: m ∈ (-2; -0.5) ∪ {3.5, 4.5}.