Постройте график функции y = −x² + 6x − 5. Найдите по графику: а) точки пересечения графика с осями координат; б) нули функции, промежутки, в которых y > 0 и y < 0; в) промежутки возрастания и убывания функции; г) наименьшее и наибольшее значения функции.

Преобразуем функцию к виду с выделенным квадратом: \(y=-(x-3)^2+4\). Значит, ветви параболы направлены вниз, вершина — \((3;4)\), ось симметрии — \(x=3\).

Нули функции: \(-x^2+6x-5=0\), то есть \((x-1)(x-5)=0\); поэтому \(x=1\) и \(x=5\). При \(x=0\) получаем \(y=-5\).

График:

а) Пересечения с осью абсцисс: \((1;0)\) и \((5;0)\); с осью ординат: \((0;-5)\).

б) Нули: \(1\) и \(5\). Между нулями график выше оси абсцисс, снаружи — ниже: \(y>0\) при \(x\in(1;5)\); \(y<0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)\).

в) Функция возрастает на \((-;3)\) и убывает на \((3;+)\).

г) Наибольшее значение равно \(4\) при \(x=3\). Наименьшего значения нет: функция не ограничена снизу.

Ответ: пересечения — \((1;0)\), \((5;0)\), \((0;-5)\); нули — 1 и 5; максимум — 4, минимума нет.