22. При каком натуральном значении t: а) значение дроби \frac{t+14}{t+5} есть натуральное число;

Для того чтобы значение дроби \(\frac{t+14}{t+5}\) было натуральным числом, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель нацело. Преобразуем дробь:

1. \(\frac{t+14}{t+5} = \frac{t+5+9}{t+5} = \frac{t+5}{t+5} + \frac{9}{t+5} = 1 + \frac{9}{t+5}\)

Чтобы выражение \(1 + \frac{9}{t+5}\) было натуральным числом, необходимо, чтобы \(\frac{9}{t+5}\) было целым числом. Это возможно, когда \(t+5\) является делителем числа 9. Делители числа 9: 1, 3, 9.

1. Если \(t+5 = 1\), то \(t = -4\). Но t должно быть натуральным числом, поэтому это не подходит.
2. Если \(t+5 = 3\), то \(t = -2\). Это также не подходит.
3. Если \(t+5 = 9\), то \(t = 4\).

Проверим: \(\frac{4+14}{4+5} = \frac{18}{9} = 2\), что является натуральным числом.

Ответ: 4