10 При каком значении в система уравнений xy = 1, x²+y²=b имеет ровно два решения?

Решим систему уравнений:

$$xy = 1$$

$$x^2 + y^2 = b$$

Выразим y из первого уравнения: y = 1/x.

Подставим во второе уравнение:

$$x^2 + (\frac{1}{x})^2 = b$$

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = b$$

$$x^4 + 1 = bx^2$$

$$x^4 - bx^2 + 1 = 0$$

Пусть $$t = x^2$$, тогда:

$$t^2 - bt + 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = b^2 - 4$$

Чтобы система имела ровно два решения, необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю.

$$b^2 - 4 = 0$$

$$b^2 = 4$$

$$b = \pm 2$$

Если b = -2, то $$x^2 = -1$$, что не имеет решений.

Если b = 2, то $$x^2 = 1$$, отсюда $$x = \pm 1$$. Соответственно, $$y = \pm 1$$.

Однако, т.к. xy = 1, то возможны только решения (1; 1) и (-1; -1).

Ответ: 2