664 Прямая АМ – касательная к окружности, АВ – хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.

Доказательство:

1. Пусть дан угол MAB, где AM – касательная, AB – хорда окружности.
2. Проведём диаметр AD через точку A.
3. Угол MAD – прямой, так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
4. Тогда ∠MAB = ∠MAD - ∠BAD = 90° - ∠BAD.
5. Угол BAD – вписанный и опирается на дугу BD.
6. ∠BAD = ½ · ◡BD.
7. Тогда ∠MAB = 90° - ½ · ◡BD.
8. Так как AD – диаметр, то дуга ABD = 180°.
9. Тогда ◡AB = 180° - ◡BD.
10. ½ · ◡AB = 90° - ½ · ◡BD.
11. Следовательно, ∠MAB = ½ · ◡AB.

Что и требовалось доказать.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что угол между касательной и хордой равен половине дуги.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Это фундаментальное свойство позволяет решать множество геометрических задач.