7. Пусть х, И Х2 – корни уравнения х²+7х-11=0. Не решая уравнения: 1) найдите значение выражения: а) 1+1; X1 Х2 6) x²+x²; B) (x1-x2)²; X1 X2 г) 1+2; д) х+х;

7. Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ – корни уравнения $$x^2 + 7x - 11 = 0$$. Не решая уравнения:

1) найдите значение выражения:

а) $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$$

Приведем к общему знаменателю: $$\frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2}$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -7$$

$$x_1 \cdot x_2 = -11$$

Тогда: $$\frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2} = \frac{-7}{-11} = \frac{7}{11}$$

Ответ: $$\frac{7}{11}$$

6) $$x_1^2 + x_2^2$$

Преобразуем выражение: $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -7$$

$$x_1 \cdot x_2 = -11$$

Тогда: $$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-7)^2 - 2 \cdot (-11) = 49 + 22 = 71$$

Ответ: 71

B) $$(x_1 - x_2)^2$$

Преобразуем выражение: $$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -7$$

$$x_1 \cdot x_2 = -11$$

Тогда: $$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (-7)^2 - 4 \cdot (-11) = 49 + 44 = 93$$

Ответ: 93

г) $$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$$

Приведем к общему знаменателю: $$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$$

Мы уже нашли, что $$x_1^2 + x_2^2 = 71$$. По теореме Виета: $$x_1x_2 = -11$$

Тогда: $$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{71}{-11} = -\frac{71}{11}$$

Ответ: -71/11

д) $$x_1^3 + x_2^3$$

Преобразуем выражение: $$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -7$$

$$x_1 \cdot x_2 = -11$$

Тогда: $$(x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2) = (-7)((-7)^2 - 3 \cdot (-11)) = (-7)(49 + 33) = (-7)(82) = -574$$

Ответ: -574