10. Пусть последовательность (ад) — арифметическая прогрессия. Докажите, что если к каждому члену этой прогрессии прибавить одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией.

Пусть \( a_n \) — арифметическая прогрессия, тогда \( a_{n+1} = a_n + d \), где d — разность прогрессии.

Пусть к каждому члену прогрессии прибавили число c, тогда новая последовательность \( b_n = a_n + c \).

Покажем, что \( b_{n+1} - b_n = d \) (const):

\[ b_{n+1} - b_n = (a_{n+1} + c) - (a_n + c) = a_{n+1} - a_n = d \]

Таким образом, разность между соседними членами новой последовательности постоянна, следовательно, новая последовательность также является арифметической прогрессией.