Раздел C–9. 2. Используя результаты вычислений в задании 1а, постройте график функции g(x) = x² + 4x + 2. Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, в которых g(x) < 0 и g(x) > 0; б) промежутки убывания и возрастания функции; наименьшее её значение.

Дополняем квадрат: g(x) = x² + 4x + 2 = (x + 2)² − 2. Поэтому вершина параболы — (−2; −2), ось симметрии — x = −2, ветви направлены вверх. Для построения можно отметить также точки (−4; 2), (0; 2), (−3; −1), (−1; −1).

а) Нули и знаки. Решаем (x + 2)² − 2 = 0: x = −2 ± √2. Поскольку парабола направлена вверх, g(x) < 0 между нулями, а g(x) > 0 вне промежутка между ними.

б) Монотонность и наименьшее значение. До вершины функция убывает, после вершины возрастает. Минимум достигается в вершине: g(−2) = −2.

Ответ: нули −2 − √2 и −2 + √2; g(x) < 0 при −2 − √2 < x < −2 + √2; g(x) > 0 при x < −2 − √2 или x > −2 + √2; убывает на (−∞; −2], возрастает на [−2; +∞); наименьшее значение −2.