Разложите на множители квадратный трёхчлен: в) $$\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}$$

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, найдем корни уравнения $$\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3} = 0$$. Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей: $$x^2 + 3x + 2 = 0$$. Теперь найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4 cdot 1 cdot 2 = 9 - 8 = 1$$. Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Корни находятся по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$. $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$. $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$. Итак, корни уравнения $$x_1 = -1$$ и $$x_2 = -2$$. Тогда квадратный трехчлен можно разложить на множители как $$a(x - x_1)(x - x_2)$$. $$\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}(x + 1)(x + 2)$$. Ответ: $$\frac{1}{6}(x+1)(x+2)$$