1)

Решение:

Угол \( \angle ABC = 50^{\circ} \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AC \). Поэтому центральный угол \( \angle AOC \) равен \( 2 \times 50^{\circ} = 100^{\circ} \).

Угол \( \angle BAC = x \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( BC \).

Угол \( \angle BCA = 130^{\circ} \) — это не центральный или вписанный угол, а, вероятно, ошибочно указано значение. Будем считать, что \( \angle ACB \) — это прямой угол (90 градусов), либо что \( 130^{\circ} \) — это мера дуги \( AB \).

Если \( 130^{\circ} \) — это мера дуги \( AB \), то центральный \( \angle AOB = 130^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике \( \triangle ABC \) равна \( 180^{\circ} \).

Если \( 130^{\circ} \) — это мера дуги \( AB \), то \( \angle ACB = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \).

Исходя из рисунка, \( 130^{\circ} \) выглядит как центральный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Но точка \( C \) находится на окружности, а \( O \) — центр. Поэтому \( 130^{\circ} \) — это, скорее всего, дуга \( AB \).

Если \( ⌀ AB = 130^{\circ} \), то \( \angle ACB = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \).

Если \( 50^{\circ} \) — это \( \angle ABC \), то дуга \( AC = 2 \times 50^{\circ} = 100^{\circ} \).

Тогда \( \angle ABC = 50^{\circ} \), \( \angle BAC = x \), \( \angle ACB = ? \).

Предполагая, что \( 130^{\circ} \) — это дуга \( BC \), тогда \( \angle BAC = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \). В этом случае \( x = 65^{\circ} \).

Предполагая, что \( 130^{\circ} \) — это дуга \( AB \), тогда \( \angle ACB = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \). Дуга \( AC = 100^{\circ} \). Дуга \( BC = 360^{\circ} - 100^{\circ} - 130^{\circ} = 130^{\circ} \). Тогда \( \angle BAC = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \).

Если \( 50^{\circ} \) — это \( \angle ABC \), то дуга \( AC = 100^{\circ} \). Если \( 130^{\circ} \) — это дуга \( AB \), то \( \angle ACB = 65^{\circ} \). Сумма углов в \( \triangle ABC \) равна \( 180^{\circ} \). \( 50^{\circ} + x + 65^{\circ} = 180^{\circ} \). \( x = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ} \).

Предполагая, что \( 130^{\circ} \) — это мера дуги \( BC \), тогда \( \angle BAC = x = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \).

Если \( 50^{\circ} \) — это \( \angle ABC \), то дуга \( AC = 100^{\circ} \). Если \( 130^{\circ} \) — это дуга \( AB \), то \( \angle ACB = 65^{\circ} \). Если \( 100^{\circ} \) — это дуга \( AC \), то \( \angle ABC = 50^{\circ} \). Если \( 130^{\circ} \) — это дуга \( AB \), то \( \angle ACB = 65^{\circ} \). Если \( x \) — это \( \angle BAC \), то дуга \( BC = 2x \).

Сумма дуг равна \( 360^{\circ} \). \( 100^{\circ} \) (дуга \( AC \)) + \( 130^{\circ} \) (дуга \( AB \)) + \( 2x \) (дуга \( BC \)) = \( 360^{\circ} \). \( 230^{\circ} + 2x = 360^{\circ} \). \( 2x = 130^{\circ} \). \( x = 65^{\circ} \).

Ответ: x = 65.