16. Решить уравнение 4^(-x+½) – 7 · 2^(-x) = 4

Решим уравнение $$4^{-x + \frac{1}{2}} - 7 \cdot 2^{-x} = 4$$.

$$4^{-x} \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot 2^{-x} = 4$$

$$4^{-x} \cdot 2 - 7 \cdot 2^{-x} = 4$$

$$(2^2)^{-x} \cdot 2 - 7 \cdot 2^{-x} = 4$$

$$2^{-2x} \cdot 2 - 7 \cdot 2^{-x} = 4$$

Пусть $$t = 2^{-x}$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 \cdot 2 - 7t = 4$$

$$2t^2 - 7t - 4 = 0$$

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$$

$$t_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$$

$$t_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Вернемся к замене:

1) $$2^{-x} = 4 = 2^2$$, следовательно, $$-x = 2$$, $$x = -2$$

2) $$2^{-x} = -\frac{1}{2}$$ - решений нет, т.к. показательная функция всегда положительна.

Ответ: $$x = -2$$