19. Решите неравенство log₂ (x² + 7x + 10) > -2

Решим неравенство $$log_2(x^2 + 7x + 10) > -2$$.

$$x^2 + 7x + 10 > 2^{-2}$$

$$x^2 + 7x + 10 > \frac{1}{4}$$

$$x^2 + 7x + 10 - \frac{1}{4} > 0$$

$$x^2 + 7x + \frac{39}{4} > 0$$

$$4x^2 + 28x + 39 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$4x^2 + 28x + 39 = 0$$

$$D = 28^2 - 4 \cdot 4 \cdot 39 = 784 - 624 = 160$$

$$x_1 = \frac{-28 + \sqrt{160}}{2 \cdot 4} = \frac{-28 + 4\sqrt{10}}{8} = \frac{-7 + \sqrt{10}}{2}$$

$$x_2 = \frac{-28 - \sqrt{160}}{2 \cdot 4} = \frac{-28 - 4\sqrt{10}}{8} = \frac{-7 - \sqrt{10}}{2}$$

Определим знаки квадратного выражения на промежутках:

     +         -         +
-----(x₂)-------(x₁)------>

$$x \in (-\infty; \frac{-7 - \sqrt{10}}{2}) \cup (\frac{-7 + \sqrt{10}}{2}; +\infty)$$.

Необходимо учесть ОДЗ: $$x^2 + 7x + 10 > 0$$.

$$x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) > 0$$.

Корни квадратного уравнения: $$x = -2, x = -5$$.

$$x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$$.

Учитывая оба условия, получим:

$$x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; \frac{-7 - \sqrt{10}}{2}) \cup (\frac{-7 + \sqrt{10}}{2}; +\infty)$$.